O Homem que Calculava — Capítulo 18

No dia seguinte, à primeira hora da sobh(1), um egípcio veio, com uma carta do poeta Iezid, buscar-nos em nossa modesta hospedaria.

— Ainda é muito cedo para a aula — advertiu tranquilo Beremiz. — Receio que a minha paciente aluna não esteja avisada.

O egípcio explicou que o xeque, antes da aula de Matemática, desejava apresentar o calculista persa a um grupo de amigos. Convinha, pois, chegássemos mais cedo ao palácio do poeta.

Desta vez, por precaução, fomos acompanhados por três escravos negros, fortes e decididos, pois era muito possível que o terrível e ciumento Tara-Tir tentasse, em caminho, assaltar o nosso grupo e assassinar o calculista no qual, ao que parece, vislumbrava odiento rival.

Uma hora depois, sem que nada de anormal nos sucedesse, chegamos à deslumbrante residência do xeque Iezid. O servo egípcio conduziu-nos, através de interminável galeria, até um rico salão azul adornado com frisos dourados. Ali se encontrava o pai de Telassim, rodeado de vários letrados e poetas.

— Salam aleicum!

— Massa al-quair!

— Venda azzaiac!(2)

Trocadas as delicadas saudações, o dono da casa dirigiu-nos amistosas palavras e convidou-nos a tomar assento naquela reunião.

Sentamo-nos sobre fartos coxins de seda. Uma escrava morena, de olhos negros e vivos, trouxe-nos frutas, doces e água com rosa.

Notei uma túnica de cetim branco de Gênova, apertada por um cinto azul todo constelado de brilhantes, de onde pendia lindo punhal com o cabo marchetado de lápis-lazúli e safiras. Coroava-o vistoso turbante de seda cor-de-rosa semeado de gemas preciosas e enfeitado de fios negros. A mão trigueira e fina realçava o brilho dos valiosos anéis que lhe pesavam nos dedos esguios.

— Ilustre geômetra — disse o xeque Iezid, dirigindo-se ao calculista —, bem sei que estás surpreendido com a reunião que promovi hoje nesta modestíssima tenda. Cabe-me, portanto, dizer-te que esta reunião não envolve outra finalidade senão homenagear o nosso ilustre hóspede, o príncipe Cluzir-el-din-Mubarec-Schá, senhor de Laore e Délhi!

Beremiz, com leve inclinação do busto, fez um salã ao grande marajá de Laore, que era o jovem de cinto de brilhantes.

Já sabíamos, das palestras habituais com que nos divertiam os forasteiros na hospedaria, que o príncipe deixara os seus ricos domínios na Índia para cumprir um dos deveres do bom muçulmano — fazer a peregrinação a Meca, a Pérola do Islã. Poucos dias, portanto, ficaria entre os muros de Bagdá; muito breve partiria, com seus numerosos servos e ajudantes, para a Cidade Santa.

— Desejamos, ó Calculista — prosseguiu Iezid —, o vosso auxílio para que possamos esclarecer uma dúvida sugerida pelo príncipe Cluzir Schá. Qual foi a contribuição com que a ciência dos hindus enriqueceu a Matemática? Quais os principais geômetras que mais se destacaram, na Índia, por seus estudos e pesquisas?

— Xeque generoso! — respondeu Beremiz. — Sinto que a tarefa que acabais de lançar-me sobre os ombros é daquelas que exigem erudição e serenidade. Erudição para conhecer, com todos os pormenores, os fatos apontados pela História das Ciências e serenidade para analisá-los e julgá-los com elevação e discernimento. Os vossos menores desejos, ó Xeque, são, entretanto, ordens para mim. Vou, pois, expor nesta brilhante reunião, como tímida homenagem ao príncipe Cluzir Schá (que acabo de ter a honra de conhecer), as pequenas noções que aprendi nos livros sobre o desenvolvimento da Matemática no país do Ganges.

E o Homem que Calculava assim começou:

— Nove ou dez séculos antes de Maomé, viveu na Índia um brâmane ilustre que se chamava Apastamba. Com o intuito de esclarecer os sacerdotes sobre os processos para construir os altares e orientar os templos, elaborou esse sábio uma obra intitulada Suba-Sultra, que contém numerosos ensinamentos matemáticos. É pouco provável que essa obra tenha recebido influência dos pitagóricos(3), pois a Geometria do sacerdote hindu não segue o método dos pesquisadores gregos. Encontram-se, entretanto, nas páginas de Suba-Sultra vários teoremas de Matemática e pequenas regras sobre construções de figuras. Para ensinar a transformação conveniente de um altar, o judicioso Apastamba é levado a construir um triângulo retângulo cujos lados medem respectivamente 39, 36 e 15 polegadas. Para a solução desse curioso problema, aplicava o brâmane um princípio que era atribuído ao grego Pitágoras:

E, voltando-se para o xeque Iezid, que tudo ouvia com a maior atenção, o calculista assim falou:

— Melhor poderia esclarecer, por meio de figuras, essa proposição famosa que todos devem conhecer.

O xeque Iezid ergueu a mão e fez um sinal aos seus auxiliares. Dentro de poucos instantes dois escravos trouxeram para o salão uma grande caixa com areia. Sobre a superfície clara da areia, poderia Beremiz traçar figuras e esboçar cálculos e problemas a fim de esclarecer o Príncipe de Laore.

— Aqui está — explicou Beremiz, traçando na areia com o auxílio de uma haste de bambu —, aqui está um triângulo retângulo. O lado maior é denominado hipotenusa e os outros dois lados chamaremos catetos.

Vamos, agora, construir três quadrados: um sobre a hipotenusa, outro sobre o primeiro cateto e o terceiro sobre o segundo cateto. Será fácil provar que o quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) tem a área exatamente igual à soma das áreas dos dois outros quadrados (construídos sobre os catetos).

Perguntou o príncipe se aquela relação era verdadeira para todos os triângulos.

Com ar grave, respondeu Beremiz:

— Essa proposição é verdadeira para todos os triângulos retângulos. Direi, sem receio de errar, que a lei de Pitágoras exprime uma verdade eterna. Mesmo antes de brilhar o sol que os ilumina, antes de existir o ar que respiramos, já o quadrado construído sobre a hipotenusa era igual à soma dos quadrados construídos sobre os catetos.

Mostrava-se o príncipe interessadíssimo com os esclarecimentos que ouvia do calculista. E falando ao poeta Iezid, observou com simpatia:

— Coisa maravilhosa, meu amigo, é a Geometria! Que ciência notável! Percebemos em seus ensinamentos duas faces que encantam o homem mais rude e mais desinteressado pelas coisas do pensamento: clareza e simplicidade.

E tocando de leve com a mão esquerda no ombro de Beremiz, interpelou o calculista com honrosa naturalidade.

— E essa proposição, que os gregos estudaram, já aparece no tal livro Suba-Sultra do velho brâmane Apastamba?

Respondeu Beremiz sem hesitar:

— Sim, ó Príncipe, a chamada Lei de Pitágoras pode ser lida nas folhas do Suba-Sultra sob uma forma um pouco diferente. Pela leitura dos escritos de Apastamba aprendiam, ainda, os sacerdotes, para o cálculo dos altares, a transformar um retângulo num quadrado equivalente, isto é, num quadrado que tivesse a mesma área.

— E surgiram, na Índia, outras obras de cálculo dignas de destaque? — indagou o príncipe.

— Várias outras — acudiu, prontamente, Beremiz. — Citarei a curiosa Suna-Sidauta, obra de autor desconhecido, mas de muito valor, pois expõe, de forma muito singela, as regras da numeração decimal e mostra que o zero é de alta importância no cálculo. Não menos notáveis, para a Ciência dos Brâmanes, foram os escritos de dois sábios que são hoje apontados pela admiração dos geômetras: Aria-Bata e Brama-Gupta. O tratado de Aria-Bata era dividido em quatro partes: Harmonias Celestes, O Tempo e suas Medidas, As Esferas e Elementos de Cálculo. Não poucos foram os erros apontados nos escritos de Aria-Bata. Esse geômetra ensinava, por exemplo, que o volume da pirâmide se obtém multiplicando-se a metade da base pela altura.

— E essa regra não está certa? — interrompeu o príncipe.

— Está, na verdade, errada — respondeu Beremiz. — Totalmente errada. Para o cálculo do volume de uma pirâmide devemos multiplicar não a metade, mas a terça parte da área da base (avaliada em polegadas quadradas) pela altura (avaliada em polegadas).

Achava-se ao lado do Príncipe de Laore um homem alto, magro, ricamente trajado, de barba grisalha, meio avermelhado. Tipo estranho nos meios dos hindus. Julguei que era um caçador de tigres; enganei-me. Era um astrólogo hindu que acompanhava o príncipe em sua peregrinação a Meca. Ostentava um turbante azul de três voltas, bastante escandaloso. Chamava-se Sadhu Gang e mostrava-se muito interessado em ouvir as palavras do calculista.

Em dado momento o astrólogo Sadhu resolveu intervir nos debates. Falando mal, com sotaque estrangeiro, perguntou a Beremiz:

— É verdade que a Geometria, na Índia, foi cultivada por um sábio que conhecia os segredos dos astros e os altos mistérios dos céus?

Aquela pergunta não perturbou o calculista. Depois de meditar durante alguns instantes, tomou Beremiz a sua haste de bambu, desmanchou todas as figuras que se achavam no tabuleiro de areia e escreveu apenas um nome:

Bháskara, o Sábio.

E disse com certa ênfase:

— Eis o nome do mais famoso geômetra da Índia. Conhecia Bháskara os segredos dos astros e estudava os altos mistérios dos céus. Nasceu esse astrônomo em Bidom, na província de Deca, cinco séculos depois de Maomé. A primeira obra de Bháskara intitulava-se Bija-ganita.

— Bija-ganita? — repetiu o homem do turbante azul. — Bija quer dizer semente, e ganita, num dos nossos velhos dialetos, significa contar, avaliar, medir.

— É isso mesmo — confirmou Beremiz numa sinceridade veemente. — É isso mesmo. A melhor tradução para o título dessa obra de Bháskara seria: a Arte de Contar Sementes. Mas, além do Bija-ganita, elaborou o judicioso Bháskara outra obra que se tornou famosa: Lilaváti. Sabemos que era esse o nome da filha de Bháskara.

O astrólogo do turbante azul voltou a interromper:

— Dizem que há um romance, ou uma lenda, em torno de Lilaváti. Conhece, ó Calculista, esse romance ou essa lenda?

— Sim, sim — acudiu Beremiz. — Conheço-o perfeitamente e, se for do agrado do nosso príncipe, poderei contá-la.

— Por Alá! — interveio prontamente o Príncipe de Laore. — Vamos ouvir a lenda de Lilaváti. Ponho todo o empenho em conhecê-la! A mim, palpita-me que deve ser muito interessante.

Nesse momento, a um sinal do poeta Iezid, o dono da casa, surgiram na sala cinco ou seis escravos, oferecendo, aos seus convidados, bolos de faisão, doces de leite, bebidas e tâmaras.

Logo que terminou aquela deliciosa refeição (e feitas as abluções do ritual) foi dada, novamente, a palavra ao calculista.

Beremiz ergueu-se, correu o olhar por todos os presentes, e assim começou:

— Em nome de Alá, Clemente e Misericordioso!(4) Conta-se que o famoso geômetra Bháskara, o Sábio, tinha uma filha chamada Lilaváti.

A origem do Lilaváti é muito interessante. Vou recordá-la. Bháskara tinha uma filha chamada Lilaváti. Quando essa menina nasceu, consultou ele as estrelas e verificou, pela disposição dos astros, que sua filha, condenada a permanecer solteira toda a vida, ficaria esquecida pelo amor dos jovens patrícios. Não se conformou Bháskara com essa determinação do Destino e recorreu aos ensinamentos dos astrólogos mais famosos do tempo. Como fazer para que a graciosa Lilaváti pudesse obter marido, sendo feliz no casamento?

Um astrólogo, consultado por Bháskara, aconselhou-o a levar a filha para a província de Dravira, junto ao mar. Havia em Dravira um templo escavado na pedra, no qual era venerada uma imagem de Buda, que trazia na mão uma estrela. Só em Dravira (assegurou o astrólogo) poderia Lilaváti encontrar um noivo, mas o casamento só seria feliz se a cerimônia do enlace fosse marcada, em certo dia, no cilindro do tempo.

Lilaváti foi, afinal, com agradável surpresa para seu pai, pedida em casamento por um jovem rico, trabalhador, honesto, e de boa casta. Fixado o dia, e marcada a hora, reuniram-se os amigos para assistir à cerimônia.

Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d’água. Esse cilindro, aberto apenas em cima, apresentava pequeno orifício no centro da superfície da base. À proporção que a água, entrando pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro, este afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora previamente determinada.

Colocou Bháskara o cilindro das horas em posição adequada, com o máximo cuidado, e aguardou que a água chegasse ao nível marcado. A noiva, levada por irreprimível curiosidade, verdadeiramente feminina, quis observar a subida da água no cilindro. Aproximou-se para acompanhar a determinação do tempo. Uma das pérolas de seu vestido desprendeu-se e caiu no interior do vaso. Por uma fatalidade, a pérola, levada pela água, foi obstruir o pequeno orifício do cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a água do vaso. O noivo e os convidados esperaram com paciência largo período de tempo. Passou-se a hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como previra o sábio astrólogo. O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse fixado, depois de consultados os astros, outro dia para o casamento. O jovem brâmane, que pedira Lilaváti em casamento, desapareceu semanas depois e a filha de Bháskara ficou para sempre solteira.

Reconheceu o sábio geômetra que é inútil lutar contra o Destino e disse à filha:

— Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento.

A obra de Bháskara tornou-se célebre e o nome de Lilaváti, a noiva malograda, surge imortal na História da Matemática.

Pelo que se refere à Matemática, Lilaváti faz exposição metódica da numeração decimal e das operações aritméticas sobre números inteiros; estuda minuciosamente as quatro operações, o problema da elevação ao quadrado e ao cubo, ensina a extração da raiz quadrada e chega até mesmo ao estudo da raiz cúbica de um número qualquer. Aborda depois as operações sobre números fracionários, com a conhecida regra da redução das frações ao mesmo denominador.

Para os problemas, adotava Bháskara enunciados graciosos e até românticos.

Eis um dos problemas do livro de Bháskara:

Amável e querida Lilaváti, de olhos doces como os da tenra e delicada gazela, dize-me qual o número que resulta da multiplicação de 135 por 12.

Outro problema, igualmente interessante, que figura no livro de Bháskara, refere-se ao cálculo de um enxame de abelhas:

A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atraída pelo perfume de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o número de abelhas.(5)

Bháskara mostrou em seu livro que os problemas mais complicados podem ser apresentados de uma forma viva e até graciosa.

E Beremiz, sempre traçando figuras no tabuleiro de areia, apresentou ao Príncipe de Laore vários problemas curiosos, colhidos na obra Lilaváti.

Infeliz Lilaváti!

Ao repetir o nome da desditosa menina, lembrei-me do poeta.

Como o oceano rodeia a Terra, assim tu, mulher,

rodeias o coração do mundo com o abismo das tuas lágrimas.(6)

Notas:

(1) Parte da manhã.

(2) As frases citadas são formas usuais de saudação entre árabes amigos.

(3) Geômetras gregos, discípulos de Pitágoras.

(4) Essa frase faz parte do ritual. Ao iniciar uma narrativa, em público, deve o muçulmano, previamente, exaltar o nome de Deus.

(5) A solução é 15.

(6) O verso é de Tagore. Figura no livro Pássaros Perdidos.

Malba Tahan, em O Homem que Calculava